Energía en el desplazamiento de un bloque

Vamos a calcular la variación de energía en el desplazamiento de un bloque de masa m por la rampa R₃ de las secciones anteriores.

Esta energía será la diferencia de las energías debidas a la fuerza del desplazamiento del bloque por los egipcios, a la fuerza de rozamiento y a la atracción gravitatoria. La energía debida a una fuerza que produce un desplazamiento es el trabajo de una fuerza. Su expresión es un cálculo integral, como se ha visto en la sección anterior.

Vamos a suponer en primer lugar que se ha conseguido eliminar la fuerza de rozamiento, por cualquier procedimiento. Si no existe esta fuerza de rozamiento, el trabajo debido a esta fuerza también es nulo.

El bloque tiene su punto inicial en la base de la pirámide, al comienzo de la rampa. El punto final será al final de la rampa con una altura h. Esto forma un triángulo, donde la altura es un cateto, y está relacionada con el desplazamiento del bloque (d) en la rampa, que es la hipotenusa. A partir de la función trigonométrica seno:

sen(\alpha) = \frac{h}{d}

La diferencia de energía potencial en el desplazamiento del bloque, desde el nivel de la base a una altura h, va a ser:

E_{g} = m \cdot g \cdot \Delta h = m \cdot g \cdot ( h - 0) = m \cdot g \cdot h

Por otro lado, el trabajo que haría una fuerza para desplazar el bloque, en la dirección y sentido del avance, en pequeños intervalos (Δr) será la suma de todas esas contribuciones. En ese desplazamiento, solo debe vencer la componente tangencial gravitatoria (recordamos que de momento no tenemos fuerza de rozamiento). La componente normal no contribuye al desplazamiento en la dirección de la rampa. Es decir:

W = \int \vec{F} \cdot dr = \int \left( m \cdot g \cdot sen(\alpha) \right) dr = \int \left( m \cdot g \cdot \frac{h}{d} \right) dr

Como una integral es como una suma de intervalos, podemos sacar del integrando todas aquellas magnitudes que no varían a lo largo de ese desplazamiento, como la masa, la aceleración de la gravedad, la altura final y la distancia recorrida. Como la suma de todos los pequeños desplazamientos (dr) acaba siendo el desplazamiento total (d), podemos escribir:

W = \int \left( m \cdot g \cdot \frac{h}{d} \right) \cdot dr = \left( m \cdot g \cdot \frac{h}{d} \right) \int dr = \left( m \cdot g \cdot \frac{h}{d} \right) \cdot d = m \cdot g \cdot h

Es decir, todo el trabajo que se emplea en desplazar el bloque debido a la fuerza tangencial se invierte en compensar la variación de energía potencial gravitatoria.

Si necesitas leer en braille el apartado puedes hacerlo descargando el archivo EDICO (edi - 7120 B).

Consecuencias energéticas en la construcción de la pirámide

Conclusiones de la variación de energía

El trabajo que se haría para vencer la fuerza tangencial debida al peso del bloque se invierte en la variación de energía potencial gravitatoria.

Entonces, ¿importa la inclinación de la rampa?

Desplazar un bloque desde la base a una altura H final no depende de la inclinación de la rampa a nivel energético.

Se puede usar una rampa de menor inclinación y hacer varios recorridos de altura h hasta llegar a la altura final H, o usar una rampa más empinada con un solo desplazamiento desde la base hasta la altura H.

En la figura aparece ilustrado, en verde, el recorrido que habría que hacer para llegar a la altura H usando la rampa R3.

Ampliación.

Varios recorridos por la rampa — *Elaboración propia*

Se puede estimar la diferencia de longitud de la rampa cuando sube por R1, por R2 o por R3.
Uno puede fijarse en que, en vez de en zigzag, se podían poner los tramos uno continuación del otro para llegar a la altura H a través de una única rampa de longitud equivalente a la suma de todos los tramos. Y se puede relacionar la altura total con la función seno y el ángulo de la rampa.

¿Importa realmente la inclinación de la rampa?

Debatid en clase sobre los beneficios y desventajas de utilizar rampas de distintas inclinaciones, no solo valorando el punto de vista energético de subir un bloque a una altura H, sino del número de personas que deberían subir cada bloque, del tiempo que se tardaría, de la organización de personas y recursos sociales implicados, etc.