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Descubre el paraje natural

Descubre el paraje natural

Ya tenemos acotado el entorno donde se encuentra la Silene hifacensis. Sin embargo, la zona es bastante amplia y el equipo de técnicos tiene que seguir investigando.

Manuscrito
Imagen creada con Dall-e-2. Manuscrito (CC BY-SA)

Los trabajos sobre el manuscrito de Heinrich Moritz han dado sus frutos al descubrir otra matriz de codificación:  \[ N= \left(\begin{array}{lll} D & X & T \\ A & V & J \\ G & Y & A \end{array}\right)\] 

El equipo técnico ha conseguido encontrar la matriz clave:  \[ C=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & 5 \\ 0 & -1 & 1 \end{array}\right) \] y creen que la localización estará relacionada con una matriz M a través de una codificación de la forma  \( M \cdot C = N \) o \( C \cdot M = N \).

Aritmética modular I

Los técnicos se han chocado contra un muro y no consiguen averiguar coómo trabajar con la matriz \( N= \left(\begin{array}{lll} D & X & T \\ A & V & J \\ G & Y & A \end{array}\right) \) ya que necesitan pasarla a números para poder operar con ella.

El equipo se ha puesto a documentarse sobre la vida de Heinrich Moritz. Nació en Herwigsdorf (Alemania) y estudió en la Universidad de Leipzig, de donde fue expulsado por pertenecer a una asociación estudiantil ilegal.

Tras leer más datos sobre su vida, descubrieron un detalle que había pasado desapercibido: en 1850 Heinrich visitó la Universidad de Gottingen, donde asistió a una conferencia del matemático Carl Friederich Gauss.

Carl Friederich Gauss
C. A. Jensen. Carl Friederich Gauss (Dominio público)

El equipo de criptólogos rápidamente dio el aviso de que Gauss era uno de los padres de la criptología, pues fue el fundador de la aritmética modular, un sistema aritmético basado en el resto que se obtiene al dividir un número por otro llamado «módulo». También es conocida como «la aritmética del reloj», ya que, en un reloj, cuando pasamos de las doce, vuelve a empezar. 

La aritmética del reloj

La aritmética del reloj está basada en el resto que se obtiene al dividir un número entero \( a \) entre 12: \[ a = 12 \cdot c + R \]

En este caso escribiríamos que \( a \equiv R \; mod  \; 12 \). Veamos un ejemplo.

Las 13 horas son equivalentes a la 1 del mediodía, es decir, el resto de la división \( 13: 12 \) es precisamente 1.

\( 13 \equiv 1 \; mod \; (12) \)
\( 14 \equiv 2 \; mod \; (12) \)
\( 15 \equiv 3 \; mod \; (12) \)
\( 16 \equiv 4 \; mod \; (12) \)
\( 17 \equiv 5 \; mod \; (12) \)
\( 18 \equiv 6 \; mod \; (12) \)
\( 19 \equiv 7 \; mod \; (12) \)
\( 20 \equiv 8 \; mod \; (12) \)
\( 21 \equiv 8 \; mod \; (12) \)
\( 22 \equiv 10 \; mod \; (12) \)
\( 23 \equiv 11 \; mod \; (12) \)
\( 24 \equiv  0 \; mod \; (12) \)

De esta forma, podremos agrupar todos los números enteros en familias disjuntas formadas por los números que son congruentes módulo 12; obtenemos exactamente 12 familias, llamadas las clases de congruencia de 12, es decir, las horas del día.

La aritmética modular

La aritmética modular tiene propiedades parecidas a la de la suma y el producto.

Si fijamos \( m \in \mathbb{N} \) como módulo, al conjunto formado por todas las clases de congruencia módulo \( m \) lo designaremos como \( \mathbb{Z}_m \).

Siguiendo con el ejemplo del reloj tendríamos:

\[ \mathbb{Z}_{12} = \{ [0], [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11]  \}\]

Algunas propiedades de las operaciones con congruencias son:

Con respecto a la suma:

  • Propiedad conmutativa: \( a + b \equiv b + a \; mod(m) \)
  • Propiedad asociativa: \( a + (b + c)  \equiv (a + b) + c \; mod(m) \)
  • Elemento neutro: Existe un elemento \( 0 \in \mathbb{Z}_m \), tal que \( a + 0  \equiv a \; mod(m) \) (recuerda que 0 es el elemento neutro de la suma)
  • Elemento opuesto: Existe un elemento \( b \in \mathbb{Z}_m \), tal que \( a + b \equiv 0 \; mod(m) \)

Con respecto al producto:

  • Propiedad cancelativa:  \( a · c ≡ b · c \; mod (m) \) y \( MCD (m, c) = 1 \) , entonces \(a \equiv b \; mod (m) \)
  • Propiedad asociativa: \( a · (b · c) \equiv  (a · b) · c \; mod (m) \)
  • Elemento neutro: Existe un elemento \( 1 \in \mathbb{Z}_m \), tal que \( a \cdot 1 \equiv  a \; mod (m) \)
  • Elemento inverso: Existe un elemento \( a^{-1} \in \mathbb{Z}_m \) para todo \( a \in \mathbb{Z}_m \) con \( MCD (a, m) = 1 \), tal que \(a · a^{-1} = 1 \) (recuerda que 1 es el elemento neutro del producto)

Más propiedades:

  • \( a \equiv a \bmod (m) \)
  • Si \(a \equiv b \bmod (m) \) entonces \( b \equiv a \bmod (m) \)
  • Si \( a \equiv b \bmod (m) \) y \( b \equiv c \bmod (m) \) entonces \( a \equiv c \bmod (m) \)
  • Si  \( a \equiv b \bmod (m) \) y \( c \equiv d \bmod (m)\) entonces:
    • \( a+c \equiv b+d \bmod (m)\) y
    • \( a \cdot c \equiv b \cdot d \bmod (m) \)
  • Si \( a \equiv b \bmod (m) \) entonces \( k \cdot a \equiv k \cdot b \bmod (m) \) con \( k \neq 0 \)
  • Si \( k / a, k / b, \operatorname{mcd}(k, m)=1 \)  y  \( a \equiv b \bmod (m) \) entonces \(\displaystyle \frac{a}{k} \equiv \frac{b}{k} mod (m)\)

Juego aritmética modular

Elija la respuesta correcta

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Aritmética modular II

El equipo de criptografía conoce varias aplicaciones de la aritmética modular.

Deciden explorar algunas de esas aplicaciones para ver si se puede aplicar a la matriz que no saben descifrar. Echad un ojo por si alguna de estas aplicaciones puede ser útil para nuestro nuestro enigma.

ISBN

ISBN-10

El ISBN (International Standard Book Number) es un número de 10 cifras que identifica, de forma única, cualquier libro editado en el mundo. Los diez dígitos están repartidos en cuatro bloques:

\[ x_1 x_2-x_3 x_4 x_5 x_6-x_7 x_8 x_9-x_{10}\]

  • El primer bloque es un indicativo geográfico, cada país tiene uno. El de España es el 84.
  • El segundo bloque corresponde a la editorial.
  • El tercer bloque corresponde al libro.
  • El último bloque \( x_{10} \), es un dígito control. Se calcula de la siguiente forma:

\[ x_{10}=x_1+2 ·x_2+3 ·x_3+4· x_4+5· x_5+6· x_6+7· x_7+8· x_8+9· x_9 \text { mod } 11 \]

Si \( x_{10} = 10  \) el dígito control se sustituye por la letra "X", o dicho de otra forma  \( x_{10}=\sum_{i=1}^9 i \cdot x_i \text { mod } 11 \)

Observa el siguiente ejemplo:

84-7960-156-6

\[  8 + 2 · 4 + 3 · 7 + 4 · 9 + 5 · 6 + 6 · 0 + 7 · 1 + 8 · 5 +  9 · 6 = 204 \]

\[ 204 \equiv 6 \; mod (11) \]

ISBN-13

El ISBN-10 se quedó corto y en el año 2007 se implantó un nuevo código ISBN de 13 dígitos compatible con el anterior.

En 2007 el ISBN cambió su formato de 10 dígitos a 13 dígitos. Desde entonces el ISBN está formado por 5 grupos de dígitos en lugar de 4, y va precedido por el 978, que identifica al producto libro.

\[ 978 - x_1 x_2-x_3 x_4 x_5 x_6-x_7 x_8 x_9-x_{10}\]

  • Primer bloque. Identifica el sector del libro. Actualmente es el 978.
  • El segundo bloque es un indicativo geográfico, cada país tiene uno. El de España es el 84.
  • El tercer bloque corresponde a la editorial.
  • El cuarto bloque corresponde al libro.
  • El último bloque \( x_{10} \), es un dígito control. Se calcula de la siguiente forma:

\[ x_{10}= 10 - (1 · 9 + 3 · 7 + 1 · 8 + 3 · x_1+ 1 · x_2+ 3· x_3+ 1· x_4+ 3· x_5+1· x_6+3· x_7+1· x_8+3· x_9 \equiv \; mod(10) )\]

Observa el siguiente ejemplo:

978-84-9097-714-9

\[ x_{10}= 10 - (1 · 9 + 3 · 7 + 1 · 8 + 3 · 8+1 · 4+3· 9+1· 0+3· 9+1· 7+3· 7+1· 1+3· 4 \equiv \; mod(10)) \]

\[ x_{10}= 10 - (161 \equiv \; mod(10)) \]

\[ x_{10}= 10 - 1 = 9 \]

DNI

La letra del DNI se obtiene calculando el resto de la división del número del DNI entre 23, es decir, módulo 23. A continuación, cada letra del alfabeto está codificada con un número de 0 a 23.

\[ \begin{array}{llll}
0 \longrightarrow \mathrm{T} & 6 \longrightarrow \mathrm{Y} & 12 \longrightarrow \mathrm{N} & 18 \longrightarrow \mathrm{H} \\
1 \longrightarrow \mathrm{R} & 7 \longrightarrow \mathrm{F} & 13 \longrightarrow \mathrm{J} & 19 \longrightarrow \mathrm{L} \\
2 \longrightarrow \mathrm{W} & 8 \longrightarrow \mathrm{P} & 14 \longrightarrow \mathrm{Z} & 20 \longrightarrow \mathrm{C} \\
3 \longrightarrow \mathrm{A} & 9 \longrightarrow \mathrm{D} & 15 \longrightarrow \mathrm{S} & 21 \longrightarrow \mathrm{K} \\
4 \longrightarrow \mathrm{G} & 10 \longrightarrow \mathrm{X} & 16 \longrightarrow \mathrm{Q} & 22 \longrightarrow \mathrm{E} \\
5 \longrightarrow \mathrm{M} & 11 \longrightarrow \mathrm{B} & 17 \longrightarrow \mathrm{V} &
\end{array} \] 

Veamos un ejemplo:

Si tomamos por ejemplo el DNI 12345678, observamos que \( 12345678 \equiv 14 \; mod(23) \) y por tanto, la letra que le corresponde es Z.

¡Comprueba tu DNI!

Operaciones con matrices

En la sesión anterior has podido ver que en el conjunto de las matrices \( \mathbb{M}_{mxn} \) se pueden definir operaciones como la suma, resta, producto por un escalar e incluso el producto entre matrices.

\[ \boxed{A, B \in \mathbb{M}_{mxn} \Rightarrow A+B \in \mathbb{M}_{mxn}} \]

\[ \boxed{A \in \mathbb{M}_{mxn}, k \in \mathbb{R}  \Rightarrow k \cdot A \in \mathbb{M}_{mxn}} \]

\[ \boxed{A \in \mathbb{M}_{mxn}, B \in \mathbb{M}_{nxp}  \Rightarrow A \cdot B \in \mathbb{M}_{mxp}} \]

Producto

La multiplicación de matrices es una operación fundamental en la teoría de matrices y es una herramienta importante en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y en la manipulación de datos en el ámbito de la informática. Al igual que en la suma, debemos estudiar sus propiedades para poder operar con ellas de forma correcta.

Piensa, razona, argumenta y deduce

Observa las siguientes matrices, \( A=\left(\begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 1 & -1 \end{array}\right) \quad B=\left(\begin{array}{ll} 3 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}\right) \). Comprueba si \( A \cdot B = B \cdot A \). ¿Se puede generalizar este resultado?

Con la ayuda de una calculadora científica o algún software informático investiga las propiedades del producto de matrices.

Matriz inversa

El producto de matrices lleva consigo varias preguntas relacionadas con sus propiedades:

  • ¿Dada una matriz cualquiera \( A \in \mathbb{M}_{mxn} \; ( m \neq n) \) existe \( A^{-1} \) tal que \( A \cdot A^{-1} = I \)?
  • ¿Siempre existe la matriz inversa de \( A \in \mathbb{M}_{nxn} \)?
  • La matriz inversa, si existe ¿es única?
  • El producto de matrices no es conmutativo, pero ¿es lo mismo \( A \cdot A^{-1} \) que \( A^{-1} \cdot A \)?

Piensa, razona, argumenta y deduce

Observa la siguientes matrices \( A=\left(\begin{array}{lll} 2 & 0 & 1 \\  1 & 2 & 1 \end{array}\right) \) y \( B=\left(\begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ -1 & -2 \end{array}\right) \).

Comprueba si las siguientes afirmaciones son correctas y justifica tu respuesta:

  • \( A \cdot B = I \)
  • \( B \) es la matriz inversa de \( A \)
  • \( A \) no tiene inversa

Potenciación

Otra operación que se puede realizar con las matrices es la potenciación. Dada una matriz \( A \in \mathbb{M}_{mxn} \) es posible calcula \( A^n \)  como \[ A^n = A^{n-1} \cdot A \; n \in \mathbb{N}\]

Piensa, razona, argumenta y deduce

Dadas \( A, B \in \mathbb{M}_{nxn} \), comprueba si la siguientes afirmaciones son correctas y justifica tu respuesta:

  • \( A^p \cdot A^q  = A^{p+q}  \)

  • \( A^p \cdot A^q  = A^q \cdot A^p  \)

  • Sea \( A= \left( \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 3 \\ 5 & 2 & 6 \\ -2 & -1 & -3 \end{array} \right) \). Entonces \( A^3 = 0_{nxn} \)

  • Si \( A \, := \, \left(\begin{array}{rr}1&-1\\2&-1\\\end{array}\right)\) y \( B \, := \, \left(\begin{array}{rr}1&1\\4&-1\\\end{array}\right) \). Entonces

    • A y B no conmutan.

    • \( (A+B)^2 = A^2 + B^2 \)

¿Ecuaciones con matrices?

Una ecuación matricial es una ecuación cuya incógnita es una matriz.  Algunos ejemplos son:

  • \( A \cdot X + B =0 \) con \( A \in \mathbb{M}_{mxn}, X \in \mathbb{M}_{nxp}, B \in \mathbb{M}_{mxp} \) 
  • \( A \cdot X \cdot B = B \cdot A \) con \( A, B \in \mathbb{M}_{nxn}\)
  • \( X \cdot A + C = X \cdot B \)  con \( A, B \in \mathbb{M}_{mxn}, X \in \mathbb{M}_{pxm}, C \in \mathbb{M}_{pxn} \) 
  • \( 2 \cdot X - 3 \cdot A = A^t \) con \( A \in \mathbb{M}_n \)

Piensa, razona, argumenta y deduce

Comprueba si las siguientes afirmaciones son correctas y justifica tu respuesta:

  • Si \( A \cdot X = B \Rightarrow X= A^{-1} \cdot B \)
  • Si \( A \cdot X = B \Rightarrow X= B \cdot A^{-1} \)
  • En la ecuación matricial \( X \cdot A + C = X \cdot B \), se tiene que \( X \cdot (A - B) =  - C \)
  • En la ecuación matricial \( A \cdot X \cdot A^t = \sqrt{5} A \), se tiene que \( X = \sqrt{5} (A^t)^{-1} \)

Trazando un plan

Es hora de afrontar el reto de encontrar la localización del paraje natural. Antes de actuar conviene trazar un plan. Piensa lo que habría que hacer para resolver el misterio del paraje y escribe abajo los pasos de tu plan.

MEFP (CC BY-SA)

Una vez trazado el plan hay que ejecutarlo.

Localización

1

¿Dónde se encuentra la Silene hifacensis?

Flors d'esclafidora d'Ifac
Joanbanjo. Flors d'esclafidora d'Ifac (CC BY-SA)

Recuerda escribir tu solución en mayúsculas.

¡Enhorabuena!

La Silene hifacensis en encuentra en la Penyal d'lfac. 

Penyal d'fac
Datos del mapa © Inst. Geogr. Nacional, Google. Penyal d'fac

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Recursos y evaluación de los aprendizajes

Recursos

  • Calculadora científica o gráfica.
  • Geogebra.
  • Hoja de cálculo.

Productos evaluables

  • El plan trazado justificando el proceso realizado.
  • La resolución de la localización de la Silene hifacensis.

Instrumentos y técnicas de evaluación

Instrumento

Técnicas

  • Observación directa.
  • Análisis de desempeño.

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