Observa la siguiente propuesta de triangulación:

Cuyos datos son:

\( \widehat{A B C} \rightarrow\left\{\begin{array}{l} A=(7.17,11.25) \\ B=(8.06,8.7) \\ C=(4.91,8.56) \end{array}\right. \),  \( \widehat{B C D} \rightarrow\left\{\begin{array}{l}
B=(8.06,8.7) \\ C=(4.91,8.56) \\ D=(4.4,5.89) \end{array}\right. \),  \( \widehat{D E B} \rightarrow\left\{\begin{array}{l} D=(4.4,5.89) \\ E=(6.51,2.96) \\ B=(8.06,8.7) \end{array}\right.\), 

\( \widehat{D E} I \rightarrow\left\{\begin{array}{l} D=(4.4,5.89) \\ E=(6.51,2.96) \\ I=(4.68,3.72) \end{array}\right. \),  \( \widehat{E G H} \rightarrow\left\{\begin{array}{l} E=(6.51,2.96) \\ G=(11.39,5.22) \\ H=(7.53,6.75) \end{array}\right. \),  \( \widehat{E G F} \rightarrow\left\{\begin{array}{c} E=(6.51,2.96) \\ G=(11.39,5.22) \\ F=(13.62,1.69) \end{array}\right. \)

Elabora tu propia triangulación.

En \( \mathbb{R}^3\) se calcula el área del triángulo de vértices A, B y C con el módulo del producto vectorial de los vectores:

\[\text{Área del triángulo } \;  \widehat{A B C}=\frac{1}{2} \cdot|\overrightarrow{A B} \times \overrightarrow{A C}|\]

Observa que para \( A(x_1,y_1,0), B(x_2,y_2,0), C(x_3,y_3,0) \in \mathbb{R}^3 \) el producto vectorial se puede simplificar:

\( \widehat{A B C}=\dfrac{1}{2} \cdot |\overrightarrow{A B} \times \overrightarrow{A C}|=\dfrac{1}{2} \cdot \left| \left| \begin{array}{ccc}  i & j & k \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & 0 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & 0 \end{array} \right| \right| = \)

\( =\dfrac{1}{2} \cdot\left|\left(0,0,\left(x_2-x_1\right) \cdot\left(y_3-y_1\right)-\left(x_3-x_1\right) \cdot\left(y_2-y_1\right)\right)\right|=  \) 

\(  =\dfrac{1}{2} \cdot\left|\left[\left(x_2-x_1\right) \cdot\left(y_3-y_1\right)-\left(x_3-x_1\right) \cdot\left(y_2-y_1\right)\right]\right|=  \) 

\(  =\left| \dfrac{1}{2} \cdot \left| \begin{array}{ll}  x_2-x_1 & y_2-y_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1  \end{array} \right| \right|=\left| \dfrac{1}{2} \cdot \left| \begin{array}{lll} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{array} \right| \right|  \) 

Así pues, 

\( \left|\begin{array}{lll}
x_1 & y_1 & 1 \\
x_2 & y_2 & 1 \\
x_3 & y_3 & 1
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}
x_1 & y_1 & 1 \\
x_2-x_1 & y_2-y_1 & 0 \\
x_3-x_1 & y_3-y_1 & 0
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}
x_2-x_1 & y_2-y_1 \\
x_3-x_1 & y_3-y_1
\end{array}\right| \)